大炮打蚊子与蚊拍打蚊子

数学风第1页数恋教情“大炮打蚊子”与“蚊拍打蚊子”一一两个多项式复根求值问题的简解与推广血华南师范大学。吴康S1.问题源起著名数学公众号“恩次方根”主编程国根先生发文《一道复数求值问题的另解及推广》，对以下问题（本文称为问题1)给出一个“大炮打蚊子”般的解答。问题1.设a,b,c,d是f(z)=x4-3x3+2x2+5z-4的零点，求(a+1+)(b+1+)(e+1+)(a+1+)的值文[1的解法简述：利用以下引理1~3得到引理4.引理1.如果1，x2,·,xm为n次多项式f(x)的n个根，即f(x)=A(-1)(r-2)…(-Em),则f(eof(e1…f(em-1为以x,x吃，…，z片为n个根的n次多项式.其中，c0,1,2,…,em-1为x”=1的n个复根.引理2.设A是以n个复根a1,a2,·,an为元素的n阶循环矩阵，则det A=f(so)f(E1)...f(En-1).其中f()=a1+a2x+...+anzn-1为复数域上的n-1次多项式，e0,61,2,…,n-1为x”-1=0的n个根.引理3.任意多项式f (x)=ao +ax +a2x2+...+anz"可以唯一地表示为f(x)=f6(xk)+xfi(x)+…+xk-1fk-1(x）