多项式相关

多项式相关by.MuKe多项式相关Def1设f(z),g(x)∈P,且g(x)卡0.若g(x)除f(x)的余数为0，则称g(x)能整除f(x),称g(x)为f(x)的因式，记作g(x)f(x),也即存在q(x)∈P,使得f(x)=q(x)g(x)关于多项式的同余有许多性质与整数相同，且证明也不算困难，这里不再罗列.Def2设P是一个数域，h(x),f(x),g(x)∈Pz如果h(x)既是f(x)的因式，也是g(x)的因式，则称h(x)为f(x)与g(x)的公因式.Def3若d(z),f(x),g(x)∈P,且d(x)≠0.如果d(x)满足下面两个条件：(1)dxf(x,d(x)lg(x月(2)若h(x)川f(x),h(x川g(x),则h(x)d(x),则称d(x)为f(x),g(x)的最大公因式.容易发现对于任意一个f(x),9(x)的最大公因式(x),乘上一个非零常数之后仍旧为最大公因式，它们之中有唯一一个首项系数为1（这样的多项式称为首一多项式）的最大公因式，记为(f(x),9(x)Def4设f(x),g(x)∈P小.如果有(f(x,9(z)=1,则称f(x)与g(x)互素.Thm1f(x)与g(x)互素的充分必要条件是存在u(x),v(x)∈P[使得(x)f(x)+v(x)g(x)=1.Def5数域P上多项式p(x)(degp(x)≥1)如果不能表示为Pz中两个次数小于degp(x)的多项式的乘积，则称p(x)为P[z中的不可约多项式.反之，称为可约多项式例如x2-2是Q中的不可约多项式，但作为R国或者C中的多项式却是可约的不可约多项式具有以下性质：1.p(x)∈P[,degp(x)=1,则p(x)不可约；2.p(x),f(x)∈P,且p(x)不可约.则(p(x),fx)=1或者(p(x),f(x)=c-lp(z)(c为p(x)的首项系数).后一种情况成立当且仅当p(x)f(z·Thm2(因式分解及唯一性定理)设P是一个数域，又f(x)∈P[,degf(z)>0.则f(x)可以分解为Pz中不可约多项式的乘积，f（r)=p(x)p2(x)…ps(x),p(z)is irreducible.如果f(x)还有另一种分解f()=q1()q2(x)...q(x),9;(x)is irreducible.则有s=t且经过适当的排列后，有p(x)=cq(x),G∈P,C卡0.f(x)=Cp(x)p2(x)…P(x)”,p:(z)为首一多项式，这种分解称为f(x)的标准分解Thm3设f(z),g(x)∈Pz,且不为0，p(x)为首一不可约多项式，又f()=api(z)"p2()"2..P()",ri0,g(x)=bp1(x)卢p2(x)p,(x),t≥0.分别为f(x),g(x)的标准分解，则(f(z,9)=Πp:(a)mr2023年9月27日-10月4日南开大学