泛函分析期中测试解答-2021.11

泛函分析期中测试解答统计91董晟渤2021年11月16日题目1.设f(z)是0,1]上的连续函数.证明：对任何实数入∈R,必存在唯一的u∈C(0,1])满足如下形式的积分方程：u(x)=f(x)+入e-u(s)ds.解答.在原积分方程两端同时除以~”，则原积分方程等价于u(x)e-x=fx)e-r+入u(s)e-ds.令v(a)=u(x)e,g(x)=f(x)e”∈C(0,1),只需证明积分方程(=g()+入v(s)ds存在唯一解u∈C(0,》.考虑T:C(0,)→C(0,,(T(=f回)+入(sds,只需验证存在n≥1，使得Tm是压缩映像.计算得d()()))d≤IW，d-w(s.(T-6sdssF."d "d((Tn-2u)(s2),(Tn-2v)(s2))ds2d…d(u(sn),v(sn))dsn,1