数学专业综合研究生入学考试试题试卷

中国科学院大学2020年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：数学专业综合考生须知：1.本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。试题总分值为540分，其中复分析、拓扑学、实分析、代数、微分几何、概率论各部分试题小计分值均为90分。考生需在试题中任意选做分值和不超过150分的试题并明确标示。如果选做的试题分值和超过限制，判卷将按照所选做试题的题号顺序依次判卷直到所做题目分值和超过限制的题目的前一题，后面所做试题视作无效考试内容。复分析1.(10分)求将上半单位圆映为上半平面的共形映射。2.(10分)求方程z-5z+1=0在单位圆内以及圆环{z∈C:1<|<2}内根的个数。3.(20分)计算以下积分。()J=2d红(②)J0w晋d(m>0).4.(20分)设f(z)是整函数，且limMr∠+o,r+十orn其中M(r)=max=rf(z川。证明f(z)是次数不超过n的多项式。5.(15分)设f(z)是单位圆D到自身的解析函数。令：,-品fe,-包[z,，名，w∈D.证明：|f(z,w)川≤1，等号成立当且仅当f(z)是D上的共形映射。6.(15分)设f(z)在|z≤R上解析，且f(2川≤M,f(0)卡0。证明当lz≤三时，f(z)的零点个数不超过In2If(0)l科目名称：数学专业综合第1页共5页