第11届XMO二试解答

第十一届学而思数理化竞赛联考XM0·11th第十一届学而思数学竞赛联考二试时间：170分钟问题1.如图，设△ABC内接于圆T,∠BAC的角平分线与BC交于点D,P为线段AD上一点，直线BP交AC于点E,直线CP交AB于点F,设圆T在点A处的切线与直线EF交于点Q:求证：PQ‖BC解答（刘涵祚陈乐恒供题）利用同一法，设过点P且平行于BC的直线与AB、AC、圆下在点A处的切线分别交于点X、Y、Q,我们只需证明Q与Q'相同，即证：E,F,Q三点共线：由XY‖BC可知△AXY与△ABC关于点A位似，故AQ'也与△AXY的外接圆相切.因此有△QXA~△QAY,故器-器器=0=2=肥(1)想用梅涅劳斯证明E,EQ共线，还需计算瓷·祭.用FX=FB·器，EY=EC·器消掉点X、Y,再结合塞瓦定理%·肥·%=1，有盟织-货站器-品霜-品(2)将(1)，(2)两式相乘，得到QX YE AFQyEA‘Fx=1,由梅涅劳斯定理逆定理可知E,F,Q'共线。?学而思培优1/7