第十一届学而思数理化竞赛联考XM0·11th第十一届学而思数学竞赛联考一试试题时间：80分钟一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1.方程21og2(x-2)+10g2(x+1)=1的所有实数解为x=解答（刘涵祚陈乐恒供题）1+√原方程可以转化为(x-2)2(x+1)=2,化简得(x-1)(x2-2x-2)=0,得出x=1或x=1士，又由于x≥2，得出原方程的解为x=1+√.2.己知实数k∈R,平面上的向量1b1=1,若满足d,了的夹角为150°，且(d+)⊥(+k)的非零向量恰好有两个，则实数k的取值范围为解答（刘涵祚陈乐恒供题）(-o∞，0U{}U{3}由于(a+)上(a+k),则(a+)·(a+k)=0:即：部-3+山+部=02所以，P-+出1+k=0.不难发现，上述方程在(0，+∞)上恰好有一个实根当k≤0时，显然该方程有一正根和一非正根，满足条件：当k>0时，该方程的判别式△=（化+1）2-4k=0,化简得：3k2-10k+3=0解得：k=3或k=综上所述，k的取值范围是(-oo,0U{}U{3}3.己知正实数a,b,c依次构成等比数列，并恰好是△ABC的三边长，则的取值范围是解答（李纪琛供题）2，√⑤)不妨设a=1,b=x,c=x2(x≥1)，则c为该三角形的最长边，于是1+x>x2,得出：1sx<1+v62而华==x+是设上述关于x的对勾函数为f(x),则不难发现在[L,)上，2≤f(x)
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