第12届XMO二试解析修正

第十二届学而思数理化竞赛联考XM0·12th第十二届学而思数学竞赛联考二试时间：170分钟问题1.如图，已知四边形ABCD满足∠ADB=∠ACB=90°，设AC和BD的交于点P,点R在CD上且RP⊥AB.M、N分别为AB、CD的中点，K为NM延长线上一点，△DKC外接圆与△AKB外接圆交于点S.求证：KS⊥SR解答（任正供题）由A、B、C、D共圆及蒙日定理可知直线CD、AB、KS共点（设该点为T).过点P做AB的垂线，设垂足为H.注意到△DMC中，MD=4罗=MC,由等腰三角形三线合一可知MN⊥DC.又因为RH⊥AB,所以M、N、R、H四点共圆.又因为∠HCD=∠HCA+∠ACD=∠HBP+∠ABD=2∠ABD=∠DMA,所以C、D、M、H四点共圆.由上面得到的共圆及圆幂定理可知TN·TR=TM·TH=TD·TC=TK·TS,故K、S、R、N四点共圆，又由KN⊥NR,所以KS⊥SR?学而思培优1/6