第12届XMO一试试题

第十二届学而思数理化竞赛联考XM0·12th第十二届学而思数学竞赛联考一试试题时间：80分钟一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1.设实数a,b,c满足1≤a0)上的一个动点，过点P分别向直线y=x,y=-x引垂线，垂足分别为A,B,再分别过点A,B向x轴引垂线，垂足分别为C,D,那么P,A,B,C,D这五个点构成的凸五边形的面积的最小值是4.设之为复数，若号为实数（位为虚数单位），则2-1川的最小值为5.我们将8个半径相等的小球放入一个棱长为2的正方体内的8个角处，且它们均与该正方体的3个面相切，小球下是在放入这8个小球之后能够放入正方体的最大的球，则当那8个小球的半径发生变化时，这9个球的表面积之和的最小值是6.设凸四边形ABCD满足AC=2,并且其对角线AC,BD的夹角为60°，如果(AB+D乙)与(AD+BC)垂直，则该四边形的面积是」7.设实数a,b,c∈(-1,1)，且满足：vV(1+a)(1+b(1+c)=v(ab-a-b+1)1+c)+v6c-b-c+1)1+a)+√(ca-c-a+1)(1+b)则a+b+c的取值范围是8.一个平台的俯视图为一个3×3的方格表，初始时在中心的方格O处有一只电子瓢虫，每过一秒钟，该瓢虫都会随机选择平行于平台边界的四个方向之一移动一个单位，如果瓢虫跌落平台就会‘死亡'，那么在2023秒后，该瓢虫仍然‘存活’的概率是?学而思培优1/4