高等代数研究生入学考试试题试卷

中国科学院大学2020年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等代数考生须知：1.本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。说明：本卷共九题，前七道题必答，第八题、第九题只准选其一答之。一.(20分)若整系数多项式f(x)有根p/g,这里p,g是互素的整数，证明1)(g-p川f),(g+p川f-):2)对任意整数m有(mg-p)川f(m)。二.(18分)以det(M)记矩阵M的行列式，证明下列结论：1)设A,B都是n阶实方阵，则det-B=det(A+IB)-det4-V万B】2)设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，I.表示k阶单位矩阵。则入".det(2Im-AB)=元m.det(In-BA,(是复数)。三.(18分)已知n阶方阵A满足A2=1n,问：秩(In+4)+秩(In-A)=?并证明你的答案。四.(18分)设A是n阶实对称正定矩阵，B是n阶实对称半正定矩阵，l)证明：det(A+B)≥det(A)+det(B):2)当n≥2时，问：在什么条件下有det(A+B)>det(A)+det(B),并证明之。五.(18分)设n阶复方阵A的全部特征值为，2，，入n。求A的伴随矩阵A的全部特征值。科目名称：高等代数第1页共2页