读书笔记1：阿氏圆的深入研究-刘俊华

阿波罗尼斯圆刘俊华阿氏圆的定义：已知平面上两个定点A、B,当动点P符合到两定点的距离比值为不等于1的定值时，点P的轨迹是个圆。常规阿氏圆的求解方法：例：已知A(-2,0),B(1,0),动点P符合到A点的距离与P到B点的距离之比为2，求P的轨迹方程。解法一：设点P(xy),由题可知a=2,即yc+22+-+岁=2，平方移项可得x+2)2+y2=4[0c-1)2+y],展开得x2+4x+4+y2=4x2-8x+4+4y2,化简得x2+y2-4x=0也可写成(x-2)2+y2=4,圆心0(2,0)，半径是2。思路和方法虽然简单，但是运算量有点多，如果题中的定点或比值未知时，这个计算就更复杂了，如果我们对这个圆的性质了解更多一些，就可以列其它方程来求解啦。定义：反演点、反演(inverse points;inverse)定义：是在圆或球直径上的一对点P与p',如果它们到中心0之距离的乘积，等于半径的平方，则称它们互为反演点，O称为反演中心，r称为反演半径。（即圆心和反演点符合：0POP三r)从P变到p或从P'变到P的变换，称为反演变换，或反演映射，简称反演。可以借助反演点的性质应用来找圆心和半径。我们继续上面的例题，由已求出的圆心坐标0(2,0)，半径为2，两定点A(-2,0),B(1,0)可知IOA=4,1OB|=1,=2,符合10AIOB1=r2,即阿氏圆中的两定点A、B符合反演的规律。（完整证明过程先略，感兴趣可以课后联系）阿氏圆的两个性质：性质1.圆心O在定点A、B的延长线上k靠近P距高定点较近的那一边；eg.PA=2PBL圆心在AB延长线靠近B点的那一端：