全微分与偏导数教学内容全微分与偏导数的概念是整个多元函数微分学的出发点。学好这两个基本概念才能深入认识多元函数微分方法的实质。本节中主要讲解以下几方面的内容：(1)全微分与偏导数的概念：(2)偏导数与全微分的计算：(3)空间曲面的切平面，偏导数与全微分的几何意义。教学思路和要求(1)准确掌握全微分与偏导数概念的内涵，是深刻理解多元函数微分学的关键，应使学生认识到它们不只是一元函数相应概念的形式推广，从而学到多元情况下“局部线性化”的方法。(2)学生掌握偏导数与全微分的计算并不困难，教师应通过实例指出偏导数与一元函数导数（微商）的区别，并介绍偏导数计算的若干技巧。(3)用全微分作近似计算是微分应用的基础，这个内容所占篇幅不多，但不应忽视。(4)利用曲面的切平面使学生对偏导数与全微分留下直观的印象。(5)在本节教学中，教师可将数学分析的思想，线性代数的方法和解析几何的工具有机地结合起来，以小见大，从整体上显示数学理论的意义与作用。教学安排一，全微分的引入对于n元函数f，当自变量x=(3,…,xn)有改变量△r=(△x,,△xn)时，因变量u有相应的改变量△u,我们希望进一步寻找△u与△x间的数量关系。受元函数可微性的启示，首先要问：是否在适当的条件下，可以把△！分解为两部分，一部分关于△x是线性的，一部分当△x趋于0时，关于△x是高阶无穷小？例1设S是边长分别为x和y的矩形面积，则S=Xy。如果边长x和y分别有增量△x和△y,那末面积S相应地有一个增量△S:△S=(x+△x)y+Ay)-xy=JyAx+x△y+△xy.可见△S的表达式中包含两部分，第一部分yAx+x△y是（△x,△y)的线性函数，第二部分△x△y是比V△2+△y2高阶的无穷小量。这样，在允许略去高阶无穷小的情况下，可以用yAx+x△y近似替代△S定义1设n元函数u=f(x)在x。=(x,…,x)的某邻域中有定义，如果有一个关于△x=(△x1,,△xn)的线性函数k,使得f(x+△x)-f(xo)=k(△x)+o(l△xD则称函数f在x处可微，并称k(△x)为f在x处的全微分，记作du,即du=k(△x).
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