教案教学内容定积分的几何应用

案定积分的几何应用教学内容与曲边形的面积、变速直线运动的路程一样，自然科学、社会科学和生产实践中出的一大类量都是累积效应的结果，它们可以用Riemann和式的极限来刻画，即用定积分来度量。本节讲解定积分的几何应用，主要是以下几方面的内容：(1)微元法：(2)平面图形的面积：(3)已知平行截面面积的立体体积和旋转体的体积：(4)曲线的弧长及其曲率：(5)旋转曲面的面积。教学思路和要求(1)微元法是由局部性态的讨论最后合成整体的累积效应、即定积分的方法，要详细讲透其思想，使学生在今后能够举一反三地使用：(2)在用推导公式时，注意说明选取微元的着眼点与理由，并注意说明整体微元如何导出，使学生学会灵活运用微元法：(3)注意几何背景的说明，并结合实际例子说明一些图形的特点与画法，以及积分区间的选取：(4)注意指出对于复杂的几何图形，在计算时要具体问题具体分析，可能要分几部分来讨论，不能直接套用公式。最好举例说明处理方法。教学安排一，微元法为说明具有哪些特征的量有望用定积分刻画，我们再度分析一下1=”f)d的概念。首先，对固定的函数f,I取决于积分区间。定积分具有一个十分重要的性质：可加性，即[a,b]被分为许多部分小区间，则I被相应地分成许多部分量△L,总量I等于诸部分量之和，即I=∑△丛，。凡能用定积分描述的量都应具有这种可加性的特征。其次，由于可加性，问题便化为部分量△1的计算。对连续函数f,记Ix)=∫f)d,则有I'(x)=fx),所以△I=I(x+△x)-I(x)=f(x)+o()。由此可见，对于能用定积分刻画的量，其在区间微元[x,x+]上的部分量应能近似地表现为dr的线性函数，即△I≈f(x)k,而且其误差应是比dx高阶的无穷小。上面的dx是自变量的微分，在应用中常被称作x的微元。它是一个变量。一