教育部四省联考数学题19的深度推广与待定系数法求解技巧

数恋教情】数育中可者高考款导臭19的保皮单广与守定系款法求年投巧血华南师范大学亡吴康S1.题19的待定系数法新解导言教育部教育考试院命制的安徽、云南、吉林、黑龙江联考(20230223)老高考新课标适应性测试数学试题与参考答案)中，题19难度适中，题型新颖，受到欢迎与瞩目：19.(12分)记数列{an}的前n项和为Tm,且a1=1,an-Tn-1(m≥2).(1)求数列{a}的通项公式：②设m为整数，且对任意n∈N,m≥上+2十十卫，求m的最小值a1 a2an导富网上广为流传的一份“试卷分析”指出题19的考查目标是“数列”，解题思路是“通项公式、错位相减法”，命题考向趋势是“等比数列、数列前项和公式、错位相减法”，备考复习建议是“数列有关知识灵活运用”.[)给出的原解与此是贴合的：原解：(1)由题设可得2=a1=1.当n≥2时，am+1=Tn-1+an=2an,故an=2m-2.故数列{an}的通项公式为an=1,n=1,2m-2,n≥2.(5分)12(2)设Sn=十则5=1当n≥2时，S=1+2:20+…+n2010212=2+221++n:21-n.于是25n=2+(21+22+…+2-m）-n…21-n552-1(1-22-n）=1-2-1-n.21-n.整理可得Sm=7-(n+2)22-n(10分)49故S<7,又S5=苓>6，所以符合题设条件的m的最小值为7.(12分)▣笔者给出以下的解法，利用了待定系数法求解技巧：新解：(1)41=1=T,a2=T=1,ag=T2=a1+a2=2,a4=T3=T2+ag=4,·,易得an=2n-2(m≥2).故所求通项公式为am=1(m=1)或2n-2(m≥2).(1)(2)设S=上+2++，n∈N,则S=1,且易得a1 a2Snti=Sn+n+12m-(m≥1).(2)两边乘2n+1,并令Um=2"Sn(n≥1)，即得Un+1=2Un+4n+4(m≥1)，U1=2(3)→Um+1+4(m+1)+8=2(Un+4n+8),n≥1.(4)故{Un+4n+8}为等比数列，通项Un+4n+8=2m-1(+4+8)Un=7.2m-4n-8n+2→=7-2n,n≥1.(5)n第1页00